Dva vlaky vzdialené od seba 200 km idú oproti sebe a každý z nich sa pohybuje rýchlosťou 50 km/h. Z jedného vlaku odštartuje mucha, letí priamo (nad koľajnicami) k druhému vlaku, odrazí sa od neho a vráti sa k prvému vlaku. Takto poletuje medzi vlakmi stále rovnakou rýchlosťou 75 km/h, až pokým sa vlaky nezrazia a muchu nerozmliaždia.
Akú vzdialenosť mucha preletí?
Tento matematický hlavolam sa dá riešiť jednoducho aj zložito. Keď sa na riešenie opýtali veľkého matematika von Neumanna, po niekoľkých sekundách vedel odpoveď. Na otázku ako na to prišiel odpovedal: "Spočítal som postupnosť."
Dá sa zložitejšie počítať nekonečná rada vzdialeností medzi obrátkami, ktoré sa postupne skracujú. Ale existuje aj jednoduché riešenie. Ak sa vlaky stretnú o 2 hodiny a mucha poletuje stále v priebehu týchto 2 hodín rýchlosťou 75 km/h, potom nalieta 150 km.
Z Bratislavy vyjde do Trnavy vlak. O päť minút neskôr vyjde vlak z Trnavy do Bratislavy, a to dvojnásobnou rýchlosťou. Ktorý vlak bude bližšie k Trnave, keď sa stretnú?
Samozrejme, že od Bratislavy budú oba vlaky v okamihu stretnutia približne rovnako vzdialené. Ak však za ich stretnutie považujeme náraz lokomotív, potom bude k Trnave bližšie ten vlak, ktorý vyšiel z Trnavy (a to približne o dĺžku tohoto vlaku).
Ak do polovice cesty do mesta pôjdem rýchlosťou 30 km/h, ako rýchlo musím prejsť zostávajúcu polovicu, aby priemerná rýchlosť celej cesty bola 60 km/h?
Táto úloha nemá riešenie (aspoň ak neberieme do úvahy poznatky o čase z teórie relativity). Ak by cesta do mesta bola napríklad 60 km, potom by som musel prejsť celú cestu za 1 hodinu aby som mal priemernú rýchlosť 60 km/h. Ale ak by som do polovice cesty (30 km) idúc rýchlosťou 30 km/h išiel presne 1 hodinu, dostal by som sa do sporu (je už nemožné prejsť zbytok cesty za žiadny čas).
Zemeguľa má obvod 40 000 km. Ak by sme urobili okolo rovniku kruh z drôtu, ktorý je iba o 10 metrov (teda 0,01 km) dlhší ako obvod Zeme, preliezla by pod týmto drôtom blcha, králik či dokonca človek?
Na základe odčítania dvoch rovníc (pôvodný obvod = 2xPIxR, zväčšený obvod = 2xPIxR + 2xPIxnový polomer) nám výsledok ukáže 10m/(2xPI), teda približne 1,6 m. Menší človek teda ľahko prejde a väčší sa zohne.
O tomto helénskom matematikovi z Alexandrie (nazývanom tiež otec algebry) okrem toho, že žil okolo roku 250 pred Kristom, veľa nevieme. Vďaka jednému z jeho obdivovateľov, ktorý popísal jeho život pomocou algebraických hádaniek, vieme, akého se dožil veku.
Diofantova mladosť trvala 1/6 jeho života. Fúzy mu narástly o ďalšiu 1/12 jeho života. O nasledujúcu 1/7 života sa Diofantos oženil. Po piatich rokoch sa mu narodil syn. Syn žil presne 1/2 dĺžky života svojho otca. Diofantos zomrel 4 roky po smrti svojho syna.
Ako dlho žil Diofantos?
Výsledok sa dal odhadnúť aj na základe požiadavky súčasnej deliteľnosti 12 a 7. Najmenšie takéto číslo je 84, väčšie násobky sa zdajú nemožné. Dá sa to však samozrejme riešiť aj rovnicou s jednou neznámou:
1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x
ktorá dáva ten istý výsledok, teda 84 rokov.
Asi 2000 rokov pred naším letopočtom bol na dvore faraóna Amenemhata III. ako kráľovský pisár a matematik zamestnaný Ahmes. V roku 1853 objavil Angličan Rhind v blízkosti chrámu Ramsesa II. v Thébach jeden Ahmesov papyrus. Papyrus má tvar pásku širokého 33 cm a dlhého viac než 5 m. Obsahuje matematické hlavolamy ako napríklad tento.
Sto mier zrna je treba rozdeliť piatim robotníkom tak, aby druhý robotník dostal o toľko mier viac než prvý, o koľko tretí dostal viac než druhý, štvrtý než tretí a piaty než štvrtý. Prví dvaja robotníci majú dostať sedemkrát menej mier zrna než ostatní traja.
Koľko mier zrna má dostať každý robotník?
Riešenie poskytne sústava dvoch rovníc, kde r je zrno prvého robotníka a d je diferencia (o koľko viac dostane nasledujúci robotník):
5r + 10d = 100
7*(2r + d) = 3r + 9d
Takže toto je riešenie:
1. robotník = 10/6 mier zrna
2. robotník = 65/6 mier zrna
3. robotník = 120/6 (20) mier zrna
4. robotník = 175/6 mier zrna
5. robotník = 230/6 mier zrna
Nástenné hodiny sú nastavené tak, že sa napoludnie hodinová, minútová i sekundová ručička presne kryjú na dvanástke. Približne po jednej hodine a piatich minútach sa minútová a hodinová ručička budú opäť prekrývať.
Dokážete spočítať presný čas (na milisekundy), kedy to bude a aký uhol v tom okamžiku budú zvierať so sekundovou ručičkou?
Existuje viacero spôsobov riešenia tejto úlohy. Uvediem však len ten, ktorý je podľa mňa najjednoduchší. Daná situácia (keď sa prekrývajú hodinová a minútová ručička) nastane za 12 hodín presne 11-krát. Všetky situácie nastanú vždy po rovnakom čase, a teda stačí zistiť, že 1/11 ciferníka je na čase 1:05:27,273 a sekundová ručička je práve na 27,273 sekundách. Od tohoto uhla sa odpočíta uhol minútovej ručičky (je rovnaký ako hodinovej ručičky). Výsledok je teda 131 stupňov.
Záhradná nádrž má štyri kohútiky. Prvým sa napustí za dva dni, druhým za tri dni, tretím za štyri dni a posledným za 6 hodín. Za aký dlhý čas sa napustí všetkými štyrmi kohútikmi otvorenými súčasne?
Pretože deň má 24 hodín, za hodinu sa napustí prvým kohútikom 1/48, druhým 1/72, tretím 1/96 a štvrtým 1/6 nádrže. To je spolu (6+4+3+48) / 288 = 61/288. Nádrž sa napustí plná za 288/61 hodiny, čo sú 4 hodiny 43 minút a približne 17 sekúnd.
Stredoveký hrad obliehala armáda. Okolo štvorcového hradu bola 10 m široká vodná priekopa. Dobyvatelia však dokázali zhotoviť len lávky 9,5 m dlhé. Mudrc, ktorého veliteľ stále zbytočne vláčil so sebou, im tentokrát predsa len poradil, ako s pomocou týchto lávok vodnú priekopu prekonať.
Poradíte im aj vy?
Jednu lávku treba položiť cez vonkajší okraj priekopy, vznikne teda rovnoramenný trojuholník. Potom zo stredu jeho prepony položíme ďalšiu lávku do rohu pevnosti (bude to vzdialenosť asi 9,39 m). A je to..
Predchádzajúci matematický hlavolam pripomína nasledovný vtip - odpoveď študenta v teste.
Auto
Vojenský automobil s dôležitou správou musí prejsť cez púšť. Na púšti však nie sú žiadne čerpacie stanice a automobil uvezie naftu, ktorá postačí na jazdu do polovice púšte. Máme však k dispozícií ďalšie autá, ktoré môžu kedykoľvek preliať obsah (alebo časť) svojej nádrže do iného auta.
Ako teda doručiť autom správu?
Potrebné sú 4 autá, vrátane auta so správou, ktoré prejde do prostriedku púšte. Jeho prázdna nádrž sa musí doplniť až po okraj, aby auto prešlo až do cieľa (na druhý koniec púšte). Cesta medzi základným táborom (kde je dostatok áut a nafty) a stredom púšte sa rozdelí na 3 tretiny. 3 autá budú chodiť medzi tretinami a prelievať si 1/3 nádrže. Tú využijú na naplnenie nádrže auta so správou a na cestu späť.
Na vymyslenej planéte existuje iba jedno letisko, a to na severnom póle. Máte k dispozici tri lietadlá a neobmedzené množstvo paliva na letisku. Plná nádrž lietadla vydrží presne na dolet na južný pól a lietadlá si môžu počas letu medzi sebou prečerpávať palivo.
Vašou úlohou je obletieť planétu aspoň jedným lietadlom (cez južný pól) pričom na konci musia byť všetky lietadlá v poriadku na letisku.
Cesta od pólu k pólu sa rozdelí na tretiny (od severného k južnému 3 tretiny aj od južného k severnému 3 tretiny).
1. 2 lietadlá na prvú tretinu, z jedného sa prečerpá 1/3 paliva do druhého, ktoré pokračuje do druhej tretiny a prvé lietadlo sa vráti späť.
2. zase 2 lietadlá zo základne na prvú tretinu, z jedného sa prečerpá 1/3 paliva do druhého, ktoré pokračuje do druhej tretiny a prvé lietadlo sa vráti späť.
3. na druhej tretine sú teraz 2 lietadlá s 2/3 paliva v každom – jedno z nich doplní to druhé a vráti sa na prvú tretinu, kde ho dočerpá na 1/3 lietadlo zo základne, s ktorým sa vráti na základňu, zatiaľ čo lietadlo načerpané naplno na druhej tretine letí pokiaľ može (teda cez južný pól vystačí palivo na okraj poslednej tretiny pred základňou.
4. koniec je už jasný – jedno lietadlo zaletí k nemu (opačným smerom ako na začiatku), dočerpá ho 1/3 paliva a obe lietadlá sa vrátia na základňu.
Kúzelný opasok v tvare obdĺžnika má tú vlastnosť, že kedykoľvek si jeho majiteľ niečo praje, zmenší se dĺžka opasku na 1/2 a šírka na 1/3. Po troch takých prianiach mal opasok obsah 4 cm2.
Aká bola jeho pôvodná dĺžka, ak pôvodná šírka bola 9 cm?
Žiadny dvaja obyvatelia nemajú na hlave presne rovnaký počet vlasov.
Žiadny obyvateľ nemá na hlave presne 518 vlasov.
Lysá má viac obyvateľov, než má ktorýkoľvek jej obyvateľ vlasov na hlave.
Aký je najvyšší možný počet obyvateľov?
Najvyšší možný počet obyvateľov je 518. Už na začiatku bolo jasné, že niektorý občan musí byť holohlavý, inak by v Lysej pri daných podmienkach nikto nemohol žiť.
Kdesi v Tichom oceáne sa nachádza ostrov. Na tom ostrove vládne slobodná kráľovná Henrieta a ostatní ľudia tam žijú vždy v páre (muž + žena).
Jedného dňa sa kráľovná rozhodne, že skoncuje s neverou. Dá teda vyhlásiť: „Každá žena, ktorá sa dozvie, že jej muž je jej neverný, presne o polnoci toho dňa, kedy sa to dozvedela, zastrelí svojho muža."
Na ostrove platia tieto pravidlá:
Kráľovná je neomylná.
Všetci plnia kráľovnine príkazy na 100%.
Každá žena má pištoľ s jedným nábojom.
Ostrov je tak malý, že akýkoľvek výstrel počujú všetci.
O neverných mužoch sa na ostrove nesmie hovoriť.
Každá žena vie o všetkých neverných mužoch na ostrove, pretože sa s nimi vyspala, ale nemôže to vedieť o svojom mužovi.
Podarí sa inteligentným ostrovankám vyplniť kráľovnin príkaz tak, aby boli zastrelení všetci neverní muži, ale žiadny muž verný?
Pretože je kráľovná neomylná a chce skoncovať s neverou, potom je na ostrove určite nejaký neverný muž. Jeho vlastná žena však o ňom nevie (vedia o ňom len všetky ostatné ženy), a keďže nepozná žiadneho neverného muža a vie, že kráľovná potvrdila neveru na ostrove, vlastného muža hneď prvý deň o polnoci zastrelí. Ak sú však na ostrove 2 neverní muži, vedia ich manželky (na rozdiel od ostatných) len o jednom nevernom. A ak predpokladajú, že ich viac nie je, potom ho má jeho manželka zastreliť hneď prvý deň o polnoci. Žiadny výstrel však nepočujú a obe prídu na to, že neverný je ich vlastný muž. Preto ich oboch zastrelia druhú polnoc. Analogicky: ak je neverných N mužov, ich manželky vedia o N-1 neverných a očakávajú v noci N-1 streľbu (a to N-1 výstrelov), to sa však nestane, a preto ony svojich mužov popravia na N-tú polnoc.
Nájdete, kde je chyba?
x = 2
x(x-1) = 2(x-1)
x2-x = 2x-2
x2-2x = x-2
x(x-2) = x-2
x = 1
Áno, rovnica je vyriešená správne, až na malý detail. V podmienkach riešenia treba uviesť, že neplatí pre x = y, pretože by nastalo delenie nulou, čo nie je v matematike definované.
