[superprismatic]

What is the coefficient of x⁴⁵ in the power series

expansion of (1-x)^-1(1-x³)^-1(1-x⁹)^-1(1-x¹⁵)^-1?

[Guest]

another way to ask the question:

how many different ways can you use 1, 3, 9, 15 to sum to 45?

15 +15 +15

15 +15 +9 +3 +3

15 +15 +9 +3 +1 +1 +1

15 +15 +9 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +15 +3 +3 +3 +3 +3 +3

15 +15 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1

15 +15 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +15 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +15 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +15 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +15 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +9 +9 +3

15 +9 +9 +9 +1 +1 +1

15 +9 +9 +3 +3 +3 +3

15 +9 +9 +3 +3 +3 +1 +1 +1

15 +9 +9 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +9 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +9 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

15 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1

15 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +9 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

15 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +3 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

15 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

(from here on out i'll truncate the +1's)

9 +9 +9 +9 +9

9 +9 +9 +9 +3 +3 +3

9 +9 +9 +9 +3 +3

9 +9 +9 +9 +3

9 +9 +9 +9

9 +9 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +9 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +9 +3 +3 +3 +3

9 +9 +9 +3 +3 +3

9 +9 +9 +3 +3

9 +9 +9 +3

9 +9 +9

9 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3 +3

9 +9 +3 +3

9 +9 +3

9 +9

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3 +3

9 +3 +3 +3

9 +3 +3

9 +3

9

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3 +3

3 +3 +3 +3

3 +3 +3

3 +3

3

88

[Guest]

rather than list every possible combo as i did above, an alternate aproach would be to use the recurance relationship:

P(n,a_k) = P(n,a_k-1) +P(n-a_k,a_k)

where a_k is your sequence.

for here, this would be...

P(45,15) = P(45,9) +P(30,15)

P(45,9) = P(45,3) +P(36,9)

P(45,3) = 16

P(36,9) = P(36,3) +P(27,9)

P(36,3) = 13

P(27,9) = P(27,3) +P(18,9)

P(27,3) = 10

P(18,9) = P(18,3) +P(9,9)

P(18,3) = 7

P(9,9) = P(9,3) +1

P(9,3) = 4

P(45,9) = 51

P(30,15) = P(30,9) +P(15,15)

P(30,9) = P(30,3) +P(21,9)

P(30,3) = 11

P(21,9) = P(21,3) +P(12,9)

P(21,3) = 8

P(12,9) = P(12,3) +2

P(12,3) = 5

P(30,9) = 26

P(15,15) = P(15,9) +1

P(15,9) = P(15,3) +P(6,9)

P(15,3) = 6

P(6,9) = P(6,3) = 3

P(45,15) =87.

[superprismatic]

rather than list every possible combo as i did above, an alternate aproach would be to use the recurance relationship:

P(n,a_k) = P(n,a_k-1) +P(n-a_k,a_k)

where a_k is your sequence.

for here, this would be...

P(45,15) = P(45,9) +P(30,15)

P(45,9) = P(45,3) +P(36,9)

P(45,3) = 16

P(36,9) = P(36,3) +P(27,9)

P(36,3) = 13

P(27,9) = P(27,3) +P(18,9)

P(27,3) = 10

P(18,9) = P(18,3) +P(9,9)

P(18,3) = 7

P(9,9) = P(9,3) +1

P(9,3) = 4

P(45,9) = 51

P(30,15) = P(30,9) +P(15,15)

P(30,9) = P(30,3) +P(21,9)

P(30,3) = 11

P(21,9) = P(21,3) +P(12,9)

P(21,3) = 8

P(12,9) = P(12,3) +2

P(12,3) = 5

P(30,9) = 26

P(15,15) = P(15,9) +1

P(15,9) = P(15,3) +P(6,9)

P(15,3) = 6

P(6,9) = P(6,3) = 3

P(45,15) =87.

You got it! I was just about to say that your last post was close (but no cigar) when I saw you posted this.

Nice recurrence method, too!