LOGIKA I. Žiarovky Stačí stlačiť jeden vypínač a nechať ho zapnutý pár minút. Potom ho zase vypneme, zapneme druhý vypínač a vojdeme do miestnosti. Žiarovka, ktorá svieti patrí samozrejme k zapnutému vypínaču. Žiarovka, ktorá je teplá patrí k vypínaču ktorý sme ako prvý na pár minút zapli (aby sa žiarovka zohriala). Loptička v jame Do rúry treba naliať tekutinu, na jej hladine bude loptička plávať. Výťah Ten muž je trpaslík (je menší než ostatní ľudia). A preto nedočiahne (ani nevyskočí) na tlačidlo pre desiate poschodie. Ale môže požiadať ostatných vo výťahu aby zapli jeho tlačidlo alebo ho môže stlačiť dáždnikom. Lopta Stačí hodiť loptu priamo nad seba. Gravitácia sa postará o zbytok. Magnet Poznáte to tak, že ich obe zavesíte vodorovne na niť a budete pozorovať, ktorá sa stáča k severu (alebo stačí zavesiť len jednu tyčku). Gardner uvádza iné riešenie: vziať jednu tyčku a jej koncom sa dotknúť stredu druhej tyčky. Keď sa pritiahnu potom máte v ruke magnet, a keď nie, magnet nemáte. Hrad Jednu lávku treba položiť cez vonkajší okraj priekopy, vznikne teda rovnoramenný trojuholník. Potom zo stredu jeho prepony položíme ďalšiu lávku do rohu pevnosti (bude to vzdialenosť asi 9,39 m). A je to. Prvoky Miska bola z polovice plná 11.59, keďže nasledujúcu minútu (12.00) bola plná. Šejkovo dedičstvo Múdry starec im poradil aby si vymenili ťavy. Stařeček jim poradil: "Prohoďte si velbloudy, vy bloudi!" Kyvadlové hodiny Treba si uvedomiť, že hodiny dokážu merať čas, aj keď nie sú správne nastavené. Pri predpoklade, že cesta tam i späť trvala rovnako dlho a ak jeho kamarát mal hodiny a dokonca správne nastavené (ak by som tieto predpoklady spomenul v zadaní úlohy, bolo to príliš jednoduché), potom je všetko jasné. Stačilo, aby pred odchodom z domu svoje hodiny natiahol, u kamaráta zistil ako dlho u neho bol, koľko bolo hodin pri odchode od kamaráta a ako dlho bol preč zo svojho domu (potom mohol ľahko zistiť ako dlho trvala jedna cesta). Majstri logiky I. (bodky) Ten najmúdrejší musel uvažovať takto (aj ostatní tak mohli uvažovať, ale asi neboli tak bystrí): Vidím všetky ruky hore a 2 červené bodky, ja teda môžem mať aj modrú aj červenú bodku. Ak by som mal modrú, videli by obaja ostatní majstri všetky ruky hore a 1 červenú a 1 modrú bodku. Ich úvaha (každého zvlášť) by musela byť takáto: Ak ten, na ktorom vidím červenú bodku, vidí tú istú modrú bodku ako ja a má zdvihnutú ruku, potom na mne musí vidieť červenú bodku. Lenže na to, že sme všetci majstri logiky je táto úvaha veľmi jednoduchá, a moji protihráči stále nevedia, že majú na čelách červenú bodku. Takže ja nemám na čele modrú bodku, ale červenú. Majstri logiky II. (klobúky) V tejto hádanke je dôležité, že všetci mali rovnakú šancu na výhru. Ak by niekto dostal čierny klobúk a ostatní biele, ten s čiernym klobúkom by ihneď vedel svoju farbu (na rozdiel od ostatných dvoch). 1 čierny a 2 biele klobúky teda nie je spravodlivé rozdelenie. Ak by veľmajster rozdal jeden biely a dva čierne klobúky, zvýhodnil by tých s čiernym klobúkom. Tí by totiž videli biely a čierny klobúk a očakávali by, že ak majú na hlave biely klobúk, potom ten s čiernym klobúkom musí okamžite zareagovať ako v predchádzajúcom prípade. Ak však nereaguje, obidvaja s čiernymi klobúkmi by zistili, že majú na hlave čierne klobúky, zatiaľ čo ten s bielym klobúkom stále rozmýšľa a nemôže na nič prísť. Teda ani toto nie je spravodlivý variant. Preto musel veľmajster dať všetkým klobúky rovnakej farby, a teda čierne. Snáď je to dosť jasné ?. Majstri logiky III. (známky) B uvažoval takto: „Ak mám kombináciu červená-červená, potom A by povedal pri svojom druhom pokuse nasledovné: ‘Vidím, že B má kombináciu červená-červená. Ak mám tiež červená-červená, potom by všetky červené známky boli využité a C by teda hneď vedel, že má kombináciu zelená-zelená. Ale C nič nepovedal, takže ja (A) nemám kombináciu červená-červená. Ak by som mal 2 zelené známky, potom C by si uvedomil, že ak by mal 2 červené známky, videl by som 4 červené známky a okamžite by som to oznámil (to že mám ja – A dve zelené známky). Na druhej strane ak má C tiež 2 zelené známky, potom B by videl 4 zelené známky a okamžite by odpovedal, že má 2 červené známky. Takže C by si uvedomil, že ak mám ja (A) kombináciu zelená-zelená a B má červená-červená, a nikto z nás (ani A ani B) nič nepovedal v prvom kole, potom musí mať kombináciu zelená-červená. Ale C nič nepovedal, takže ja (A) nemôžem mať kombináciu 2 známok rovnakej farby. Musím teda mať 1 zelenú a 1 červenú známku.’“ B pokračuje: „Ale A nepovedal, že má kombináciu zelená-červená, takže predpoklad, že ja (B) mám 2 červené známky je nesprávny. A teda logicky nemôžem mať ani kombináciu zelená-zelená. To znamená jediné – ja (B) mám 1 zelenú a 1 červenú známku.“ Riešením je teda to, že (samozrejme pri dodržaní uvedených podmienok, pravdivosti výrokov o svojich známkach a logickej vyspelosti jednotlivých účastníkov) B má jednu zelenú a jednu červenú známku na svojom čele. Aké známky majú ostatní nie je možné zistiť. Čelenky Prvý mohol uvažovať takto: „Posledný mlčí, to znamená, že nevie, to znamená, že aspoň jedna čelenka z tých, ktoré vidí je biela. Druhý tiež mlčí, ale vie už to, čo som pred chvíľou uviedol. Keby som mal červenú čelenku, tak vie, že jeho je biela. Ale on mlčí. Takže moja čelenka nie je červená. Moja čelenka je biela.“ Vianočný stromček Riešenie nie je jednoznačné. Ak anjeli B a C majú rovnakú svätožiaru, potom musel anjel A okamžite vedieť akú má farbu (tú druhú). Ak však anjeli B a C mali rôzne svätožiare, potom anjel A musel mlčať a rozmýšľať. To by bol však signál pre anjela B, ktorý tak mohol z farby anjela C poznať, že on sám má na hlave tú druhú farbu. LOGIKA II. Tehla Na výpočet hmotnosti 1 tehly sa dá použiť veľmi jednoduchá rovnica: 1 tehla = 1 kg + 1/2 tehly A teda 1 tehla váži 2 kilogramy. Čudné mince Je to len taký detský chyták. Sú to dvojkoruna a koruna. Jedna z mincí (teda dvojkoruna) naozaj nie je koruna. Čo je správne Samozrejme sedem a päť nedávaju dohromady trinásť ale dvanásť ?. Vlaky Samozrejme, že od Bratislavy budú oba vlaky v okamihu stretnutia rovnako vzdialené. Ak však za ich stretnutie považujeme náraz lokomotív, potom bude k Trnave bližšie ten vlak, ktorý vyšiel z Trnavy (a to približne o dĺžku tohoto vlaku). Mucha Dá sa zložitejšie počítať nekonečná rada vzdialeností medzi obrátkami, ktoré sa postupne skracujú. Ale existuje aj jednoduché riešenie. Ak sa vlaky stretnú za 2 hodiny a mucha poletuje stále v priebehu týchto 2 hodín rýchlosťou 75 km/h, potom nalieta 150 km. Zrýchlenie Táto úloha nemá riešenie (aspoň ak neberieme do úvahy poznatky o čase z teórie relativity). Ak by cesta do mesta bola napríklad 60 km, potom by som musel prejsť celú cestu za 1 hodinu aby som mal priemernú rýchlosť 60 km/h. Ale ak by som do polovice cesty (30 km) idúc rýchlosťou 30 km/h išiel presne 1 hodinu, dostal by som sa do sporu (je už nemožné prejsť zbytok cesty za žiadny čas). Zadrôtovaný rovník Na základe odčítania dvoch rovníc (pôvodný obvod = 2xPIxR, zväčšený obvod = 2xPIxR + 2xPIxnový polomer) nám výsledok ukáže 10m/(2xPI), teda približne 1,6 m. Menší človek teda ľahko prejde a väčší sa zohne. Diofantos Výsledok sa dal odhadnúť aj na základe požiadavky súčasnej deliteľnosti 12 a 7. Najmenšie takéto číslo je 84, väčšie násobky sa zdajú nemožné. Dá sa to však samozrejme riešiť aj rovnicou s jednou neznámou: 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x ktorá dáva ten istý výsledok, teda 84 rokov. Ahmesov papyrus Riešenie poskytne sústava dvoch rovníc, kde r je zrno prvého robotníka a d je diferencia (o koľko viac dostane nasledujúci robotník): 5r + 10d = 100 7*(2r + d) = 3r + 9d Takže toto je riešenie: 1. robotník = 10/6 mier zrna 2. robotník = 65/6 mier zrna 3. robotník = 120/6 (20) mier zrna 4. robotník = 175/6 mier zrna 5. robotník = 230/6 mier zrna Polnoc Teraz je 15.00 (tri hodiny po obede). Hodiny Existuje viacero spôsobov riešenia tejto úlohy. Uvediem však len ten, ktorý je podľa mňa najjednoduchší. Daná situácia (keď sa prekrývajú hodinová a minútová ručička) nastane za 12 hodín presne 11-krát. Všetky situácie nastanú vždy po rovnakom čase, a teda stačí zistiť, že 1/11 ciferníka je na čase 1:05:27,273 a sekundová ručička je práve na 27,273 sekundách. Od tohoto uhla sa odpočíta uhol minútovej ručičky (je rovnaký ako hodinovej ručičky). Výsledok je teda 131 stupňov. Nádrž Pretože deň má 24 hodín, za hodinu sa napustí prvým kohútikom 1/48, druhým 1/72, tretím 1/96 a štvrtým 1/6 nádrže. To je spolu (6+4+3+48) / 288 = 61/288. Nádrž sa napustí plná za 288/61 hodiny, čo sú 4 hodiny 43 minút a približne 17 sekúnd. Auto Potrebné sú 4 autá, vrátane auta so správou, ktoré prejde do prostriedku púšte. Jeho prázdna nádrž sa musí doplniť až po okraj, aby auto prešlo až do cieľa (na druhý koniec púšte). Cesta medzi základným táborom (kde je dostatok áut a nafty) a stredom púšte sa rozdelí na 3 tretiny. 3 autá budú chodiť medzi tretinami a prelievať si 1/3 nádrže. Tú využijú na naplnenie nádrže auta so správou a na cestu späť. Lietadlo Cesta od pólu k pólu sa rozdelí na tretiny (od severného k južnému 3 tretiny aj od južného k severnému 3 tretiny). 1. 2 lietadlá na prvú tretinu, z jedného sa prečerpá 1/3 paliva do druhého, ktoré pokračuje do druhej tretiny a prvé lietadlo sa vráti späť. 2. zase 2 lietadlá zo základne na prvú tretinu, z jedného sa prečerpá 1/3 paliva do druhého, ktoré pokračuje do druhej tretiny a prvé lietadlo sa vráti späť. 3. na druhej tretine sú teraz 2 lietadlá s 2/3 paliva v každom – jedno z nich doplní to druhé a vráti sa na prvú tretinu, kde ho dočerpá na 1/3 lietadlo zo základne, s ktorým sa vráti na základňu, zatiaľ čo lietadlo načerpané naplno na druhej tretine letí pokiaľ može (teda cez južný pól vystačí palivo na okraj poslednej tretiny pred základňou. 4. koniec je už jasný – jedno lietadlo zaletí k nemu (opačným smerom ako na začiatku), dočerpá ho 1/3 paliva a obe lietadlá sa vrátia na základňu. Opasok Pôvodná dĺžka opasku bola 96 cm. Lysá pod Plešatou Najvyšší možný počet obyvateľov je 518. Už na začiatku bolo jasné, že niektorý občan musí byť holohlavý, inak by v Lysej pri daných podmienkach nikto nemohol žiť. Kráľovná Henrieta Pretože je kráľovná neomylná a chce skoncovať s neverou, potom je na ostrove určite nejaký neverný muž. Jeho vlastná žena však o ňom nevie (vedia o ňom len všetky ostatné ženy), a keďže nepozná žiadneho neverného muža a vie, že kráľovná potvrdila neveru na ostrove, vlastného muža hneď prvý deň o polnoci zastrelí. Ak sú však na ostrove 2 neverní muži, vedia ich manželky (na rozdiel od ostatných) len o jednom nevernom. A ak predpokladajú, že ich viac nie je, potom ho má jeho manželka zastreliť hneď prvý deň o polnoci. Žiadny výstrel však nepočujú a obe prídu na to, že neverný je ich vlastný muž. Preto ich oboch zastrelia druhú polnoc. Analogicky: ak je neverných N mužov, ich manželky vedia o N-1 neverných a očakávajú v noci N-1 streľbu (a to N-1 výstrelov), to sa však nestane, a preto ony svojich mužov popravia na N-tú polnoc. Prečo 1 = 2 Áno, rovnica je vyriešená správne, až na malý detail. V podmienkach riešenia treba uviesť, že neplatí pre x = y, pretože by nastalo delenie nulou, čo nie je v matematike definované. Lomená čiara LOGIKA III. Hrušky Na strome boli dve hrušky. Keď zafúkal vietor, zhodil jednu hrušku na zem. Teda na strome ostala len jedna hruška (nie hrušky) a na zemi bola tiež len jedna hruška (nie hrušky). Jabĺčka Každé dieťa dostane jedno jablko, pričom jedno z detí dostane svoje jablko v košíku. Vrece Roľník nasypal šošovicu do vreca hostinského, vrece zaviazal a vyvrátil na ruby. Z druhej strany nasypal hrach. Potom vrece rozviazal a vrátil šošvicu späť do svojho vreca. Námornícka Námorníci stáli chrbtom ku zábradliu a pozerali sa na seba. Kde sa nachádzala loď pritom nezáleží (iba ak neboli na severnom, alebo južnom póli, pravdaže). Lodný rebrík Ak sa dvíha hladina vody, potom sa spolu s hladinou dviha aj loď. Takže voda bude stále na prvej priečke rebríka. Hotelový účet Tak toto je pekný chyták. Každý kamarát zaplatil 90 Sk, pretože dali pôvodne 300 Sk a 30 Sk dostali naspäť (teda 270 Sk). Majiteľ získal len 250 Sk a rozdiel 20 Sk má recepčný. Je teda nezmysel pokúšať sa k 270 Sk pripočítať 20 Sk, keď tých 20 Sk vlastne recepčný zobral majiteľovi hotela z toho, čo hostia zaplatili. Hotel Pri pozornom prečítaní textu úlohy zistíte, kde sa zobrala jedna izba navyše... (Do druhej izby mal ísť hosť číslo dva, lebo v jednotke čakal 13. hosť.) Puzzle táraniny (autor: Sam Loyd) Uvedený výrok je pravdivý práve v nedeľu. Dvojičky V ten deň sa narodilo uvedenej matke ešte aspoň jedno dieťa, a teda nie sú dvojičky lebo sú napr. trojičky. Fotografia Na fotografii je môj syn. Jednosmerka Išla peši. Cena vojny Ak spočítate všetky zranenia zistíte, že 100 vojakov utrpelo 310 zranení. To znamená, že každý vojak utrpel v priemere 3,1 zranenia (samozrejme obrazne), a teda minimálne každý desiaty vojak utrpel kompletné štvrté zranenie. Alebo sa dá postupovať postupne: ak oko stratilo 70 vojakov a ucho 75 vojakov potom minimálne 45 ich stratilo oba orgány. A tak ďalej až zistíme, že minimálne 10 vojakov stratilo všetky 4 časti tela. Bavorák Pomer tekutín v oboch pohároch je rovnaký. Toniku je presne toľko v pohári s fernetom, koľko je fernetu v pohári s tonikom. Čas Písmeno m. Krátke • Prečo by živého muža mali pochovávať? • Do lesa možno najďalej zabehnúť do polovice, potom sa už beží von z lesa. • Je to jednoduché – skóre každého zápasu pred začiatkom je 0:0. • Samozrejme najprv treba zapáliť zápalku. • Pretože Číňanov je viac. • Žena, ktorá nemá všetky svoje prsty na jednej ruke je normálna. Nechcel by som mať 20 prstov na jednej ruke :-). Výroková logika Poctivci a podvodníci I. Na takomto ostrove nie je možné, aby niekto povedal: „Som klamár.“ Poctivec by týmto výrokom klamal a podvodník by hovoril pravdu. Takže B musel klamať, a je teda podvodník. A pretože C povedal, že B klame, je C poctivec. Čo je A sa nedá zistiť. Poctivci a podvodníci II. Logická disjunkcia „platí výrok P alebo Q“ (zámerne nie je použitá vylučujúca disjunkcia „buď P, alebo Q“) znamená, že aspoň jeden z výrokov (P, Q) je pravdivý (alebo obidva). Aby bol taký výrok nepravdivý, musia byť nepravdivé obidve jeho súčasti (P i Q). Ak by bol teda A podvodník, potom je jeho výrok nepravdivý (teda nie je pravda, ani že A je podvodník, ani že B je poctivec), to je ale spor, a A teda musí byť poctivec. Potom ale musí byť pravdivá aspoň jedna časť jeho výroku. Tá prvá to zjavne nie je, potom je teda aj B poctivec. Poctivci a podvodníci III. Existuje viacero druhov otázok: 1. Opýtať sa sprostredkovane: „Hej ty, čo by mi odpovedal ten druhý, keby som sa ho opýtal, kam vedú tieto dvere?“ Vždy dostáváme odpoveď negovanú. 2. Opýtať sa rafinovane: „Hej ty, stojí poctivec pri dverách ku slobode?“ Odpoveď bude ÁNO, ak sa pýtam poctivca a on u nich stojí, alebo ak sa pýtam podvodníka a ten u nich zase stojí, môžem teda týmito dverami prejsť. Opačná odpoveď má podobnú dedukciu. 3. Opýtať sa zložito: „Hej ty, čo by si mi odpovedal, keby som sa ťa opýtal...?“ Poctivec je jasný, ale podvodník by mal klamať, lenže je otázkou prinútený zaklamať dvakrát, a teda povie pravdu. Poctivci a podvodníci IV. A (prvý) musí byť podvodník (ako poctivec by si odporoval), a teda (podľa klamstva A) medzi nimi musí byť poctivec. Ak je B (druhý) podvodník, potom podľa A je C poctivec, ale to by B hovoril pravdu. B je teda poctivec, a potom C musí byť podvodník. Poctivci a podvodníci V. Tu treba skúmať pravdivosť alebo nepravdivosť celého zloženého výroku. Pravdivostná tabuľka každej implikácie (podmieneného výroku) je: P Q P=>Q pravda pravda pravda pravda nepravda nepravda nepravda pravda pravda nepravda nepravda pravda Je teda zrejmé, že A nie je podvodník, pretože aby bol celý jeho výrok nepravdivý, musel by (viď tabuľka) podvýrok „… potom ja som podvodník“ byť nepravdivý, to je ale spor. Pretože A je teda poctivec, musí byť celý jeho výrok pravdivý. Ak by B bol tiež poctivec, potom by musel byť pravdivý (viď tabuľka) i podvýrok „… potom ja som podvodník“, to je ale spor. A je teda poctivec a B podvodník. Poctivci a podvodníci VI. Moje riešenie: NEJEDNOZNAČNÉ: barman – klamár (poctivec), prísediaci – poctivec (klamár) Teda jeden je klamár a druhý je poctivec (neviem však ktorý). 1. barman musel povedať: "Áno, hovorím pravdu." (nezáležiac na tom či klame alebo nie) 2. prísediaci muž povedal: "Barman povedal áno, ale je veľký klamár.", čo je pravda iba ak OBE časti tvrdenia sú pravdivé (viac o logickej konjunkcii http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_conjunction) o ak je to pravda – prísediaci muž je poctivec a barman je klamár, o ak je to klamstvo = "je veľký klamár" je klamstvo – barman je poctivec a prísediaci muž je podvodník. Poctivci a podvodníci VII. Treba skúmať pravdivosť/nepravdivosť celého zloženého výroku. Pravdivostná tabuľka každej ekvivalencie je: P Q P<=>Q pravda pravda pravda pravda nepravda nepravda nepravda pravda nepravda nepravda nepravda pravda Ak je cudzinec poctivec, potom celý jeho výrok musí byť pravdivý. Podvýrok, že je poctivec, pravdivý je, takže musí byť pravdivý i podvýrok, že na ostrove je poklad. Ak je však podvodník, musí byť celý výrok nepravdivý. Podvýrok, že je poctivec, je v tom prípade určite nepravdivý. Takže musí byť druhý podvýrok, že na ostrove je poklad, pravdivý. Poklad na ostrove teda je, bez ohľadu na povahu domorodca. Poctivci a podvodníci VIII. To najdôležitejšie bolo ukryté v závere (o tom, čo nemusíme vedieť). Teda klamalo toľko ľudí, aby sme mohli jednoznačne určiť aký je deň. Treba si taktiež uvedomiť, že B a D hovoria to isté. Ak by všetci klamali, boli by na výber 4 možné dni (to by ale nebolo jednoznačné). Ak by pravdu hovoril iba jeden, mohol to byť A alebo C, teda 2 možné dni (to opäť nie je jednoznačné). Ak by pravdu hovorili dvaja, museli by to byť B a D a bola by sobota (pretože A a C boli v spore). 3 alebo všetci 4 pravdu hovoriť nemohli, pretože by to bol jasný spor. Bola teda sobota. Poctivci a podvodníci IX. Ak by domorodec odpovedal „Áno.“, cudzinec by sa nič nedozvedel. To znamená, že odpoveď musela byť „Nie.“, a teda ten kto to povedal je klamár a ten druhý je poctivec. Poctivci a podvodníci X. „Som chudobný klamár.“ Poctivec to povedať nemôže, tzn. je to lož. A teda je bohatý klamár. „Nie som chudobný poctivec.“ Klamár by to povedať nemohol, lebo by to bola pravda. A teda je poctivec, čo nie je chudobný, ale bohatý. Na súde I. Áno, pomohlo mu to. Ak je poctivec, potom podľa jeho výroku vinníkom je klamár, a teda on sám je nevinný. Ak je klamár, potom podľa jeho výroku vinníkom je poctivec, a teda zase je nevinný. Na súde II. Ak má byť celý žalobcov výrok nepravdivý, musí byť splnená podmienka implikácie a nesplnený jej dôsledok. Obhajca teda svojmu klientovi nepomohol, pretože z logického hľadiska povedal, že obžalovaný je vinný a dokonca nemal žiadneho spoločníka. Na súde III. ? „Urobil som to – som vinný.“ Tzv. nepriamy dôkaz = dôkaz sporom (lat. reductio ad absurdum) ? Neexistuje taký výrok. ? „Som nevinný.“ ? „Buď som poctivec a nevinný, alebo som klamár a vinný.“ = „Som buď nevinný poctivec, alebo vinný klamár.“ Uvažovanie súdu by bolo nasledovné: ? Ak je poctivec, potom to je pravda a je nevinný poctivec. ? Ak je klamár, potom to je lož a nie je ani nevinný poctivec ani vinný klamár, tzn. je nevinný klamár. ? Ak je normálny, je nevinný lebo vinník nie je normálny. Pandorina skrinka I. Pri daných podmienkach môže byť iba nápis na olovenej skrinke pravdivý. Takže prsteň je v striebornej skrinke. Pandorina skrinka II. Prsteň musí byť v zlatej skrinke, inak by boli všetky nápisy buď pravdivé, nebo nepravdivé. Lev a Jednorožec I. Keďže neexistuje žiadny deň v týždni, kedy by obe zvieratá klamali, muselo aspoň jedno z nich povedať pravdu. Obaja hovoria pravdu iba v nedeľu, ale Lev by potom svojim tvrdenim zaklamal, a teda nemohla byť nedeľa. Takže jeden klamal a jeden hovoril pravdu. Ak by hovoril pravdu Jednorožec, potom by musela byť nedeľa – to sme však na začiatku vylúčili. Pravdu mal teda Lev keď vo štvrtok stretol Alenku a spolu s Jednorožcom spomínal na stredu. Lev a Jednorožec II. Aby bol výrok pravdivý, museli by byť pravdivé obe jeho časti, prvá časť je pravdivá vo štvrtok, ale druhá časť je vo štvrtok nepravdivá (nie je pravda, že by v nedeľu klamal). Celý výrok je teda nepravdivý, takže ho mohol povedať iba v niektorý klamací deň. K tomu, aby bol tento zložený výrok nepravdivý, stačí aby bola nepravdivá iba jedna časť tejto konjunkce. Keďže je každý klamací deň nepravdivá druhá časť, mohol Lev tento výrok vyhlásiť v pondelok, v utorok aj v stredu. Ostrov BAAL Konjunkcia, ktorú použil A, je pravdivá, ak oba podvýroky sú pravdivé, ale nepravdivá vo všetkých ostatných prípadoch. Predpokladajme, že B je poctivec. Potom by A bol poctivec (B to povedal), a tak B by bol klamár podľa A, čo je rozpor. Takže B je klamár. Podľa toho, čo vyhlásil B, je A tiež klamár. Prvý výrok A je teda nepravdivý a B nie je klamárska opica. Lenže B klamár je, a tak nie je opica. B je teda človek, ktorý klame. Z druhého výroku A vyplýva, že A je opica. A je teda klamárska opica. Pravda, Lož a Múdrosť Označme si bohyne písmenami A, B, C. Dostaneme tri vety. 1. A hovorí: B je Pravda. 2. B hovorí: Ja som Múdrosť. 3. C hovorí: B je Lož. Prvá veta naznačuje, že A nie je Pravda. Druhá veta hovorí, že B nie je Pravda, a teda Pravda je C. Jej tvrdenie je pravdivé. B je teda Lož a A je Múdrosť. V Alpách Tento príklad nemá jednoznačné riešenie. Jediný, kto určite klame (aj keď vôbec nič nepovedal), je Philip. Hans asi hovorí pravdu a Emanuel klame. Môže to byť i naopak, ale pretože sa Hans vyjadruje o Emanuelovi skôr než on, potom je asi Emanuelova poznámka, že nevie, či Hans klame, nepravdivá. Mince „Nedáte mi ani medenú mincu, ani striebornú mincu.“ Ak je to výrok pravdivý, potom musím dostať zlatú mincu. Ak by bol výrok nepravdivý, potom musí platiť jeho negácia. Teda „Dáte mi medenú alebo striebornú mincu.“ To by však bolo v rozpore so zadaním, že nedostanem žiadnu mincu. Výrok teda nemôže byť nepravdivý. Vychytralý milovník Tu bolo nutné vymyslieť zložený výrok, tak, aby sa jedna jeho časť vzťahovala k sľúbenej (či nesľúbenej) fotografii a jeho druhá časť k pobozkaniu. Celková pravdivosť či nepravdivosť zloženého výroku by potom mala byť v spore so sľubom o fotografii a zbytok by mal nútiť k bozku. Stačí teda povedať napríklad toto: „Nedáte mi ani fotku ani bozk.“ PRELIEVANIE, VÁŽENIE, MERANIE ... Prelievanie tekutín I. Naplníme 5-litrovú nádobu a prelejeme vodu do 3-litrovej nádoby, ktorú potom vylejeme. Z 5-litrovej nádoby prelejeme zostávajúce 2 litre do 3-litrovej nádoby. Znovu naplníme 5-litrovú nádobu a dolejeme z nej do 3-litrovej nádoby 1-liter, takže v 5-litrovej nádobe nám zostanú potrebné 4 litre vody. Prelievanie tekutín II. 1. z 8-litrovej nádoby odlejeme 5 litrov do 5-litrovej nádoby, 2. z 5-litrovej nádoby odlejeme 3 litre do 3-litrovej nádoby, 3. tieto 3 litre vrátime späť do 8-litrovej nádoby, 4. z 5-litrovej nádoby odlejeme zostávajúce 2 litre do 3-litrovej nádoby, 5. z 8-litrovej nádoby odlejeme 5 litrov do 5-litrovej nádoby, 6. z tejto 5-litrovej nádoby dolejeme chýbajúci liter do 3-litrovej nádoby v 5-litrovej nádobe nám zostali 4 litre vody, 7. 3 litre z 3-litrovej nádoby vrátime do 8-litrovej nádoby - v 8-litrovej nádobe nám zostali 4 litre vody. Prelievanie tekutín III. Postupne (trojice čísel znamenaju počet litrov v jednotlivých nádobách): 700 - 340 - 313 - 610 - 601 - 241 - 223 (6 prelievaní) Prelievanie tekutín IV. Najprv naberiete vodu do 9-litrovej nádoby. Potom prelejete vodu do 4-litrovej nádoby (v 9-litrovej nádobe vám zostáva 5 litrov vody) a vodu zo 4 litrovej nádoby vylejete. Znovu prelejete vodu z 9-litrovej do 4-litrovej (v 9-litrovej vám zostáva už len liter) a opäť 4-litrovú vylejete. Potom prelejete ten jeden liter z 9-litrovej do 4-litrovej, ale teraz 4-litrovú nádobu nevylievate. Naplňte znovu 9-litrovú nádobu. A už stačí doliať 4-litrovú nádobu a v 9-litrovej vám zostane 6 litrov. Prelievanie tekutín V. 1. Naplňte 5-litrovú nádobu, nalejte z nej do 4-litrovej a tú vyprázdnite. Prelejte zostávajúci liter do 4-litrovej. Znovu naplňte 5-litrovú nádobu a prelejte z nej vodu do 4-litrovej nádoby (kde už je 1 liter) po okraj. A tak v 5-litrovej zostanú 2 litre. 2. Podobný princíp – tentokrát z opačného konca. Naplňte 3-litrovú nádobu, nalejte z nej do 4-litrovej. Znovu naplňte 3-litrovú, nalejte z nej do 4-litrovej a dva litre zostanú. Prelievanie tekutín VI. 1. prelievanie - z nádoby A dolejeme jeden liter do nádoby C. Týmto v nádobe A zostali práve 4 litre a nádoba C je plná (obsahuje 3 litre). 2. prelievanie - z nádoby C odlejeme 2 litre do nádoby B. Teraz je nádoba B plná (obsahuje 5 litrov), a v nádobe C zostal práve jeden liter. Váženie I. Ak iba 1 zlé vrece: Vezme sa jedna minca z prvého vrecúška, dve z druhého, tri z tretieho, ... desať z desiateho, zváží sa to a zistí sa, o koľko gramov je to ťažšie, než by malo byť za ideálneho stavu. A počet gramov udává poradie vrecúška s falošnými mincami. Viac zlých vriec: Tak tu je veľa možných riešení. Napríklad 1, 2, 4, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000. Váženie II. Stačí použiť 51 gumových medvedíkov. Z kartónov sa postupne vyberie 0 (z prvého kartónu sa nevyberie nič), 1, 2, 4, 7, 13 a 24 medvedíkov (z posledného siedmeho kartónu). Cieľom bolo zvoliť unikátne trojice skupín aby sa dali jednoducho identifikovať tie 3 kartóny s imitáciami. Táto vybraná skupina 51 medvedíkov by mala vážiť s pravými medvedíkmi 510 gramov. Ale keďže sú medzi nimi aj nepodarky, hmotnosť, ktorá bude chýbať do 510 udáva číslo, ktoré može byť vytvorené iba jednou trojicou skupiniek (z týchto skupiniek: 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24). Napríklad ak by na váhe vážilo vybraných 51 medvedíkov 488 gramov, tzn. na váhe je 22 imitácií (510 – 488 = 22). A jediné tri skupinky, v ktorých je 22 nepodarkov sú tretia (2 medvedíky), piata (7 medvedíkov) a šiesta skupinka (13 medvedíkov). Váženie III. Podobne ako pri predchádzajúcej úlohe. Postupne vyberiem z vrecúšok 0 (z prvého vrecúška nevyberiem žiadnu mincu), 1 (z druhého vrecúška 1 mincu atď.), 2, 4, 7, 13, 24, 44 mincí (z posledného ôsmeho vrecúška). Každá trojica je unikátna a tak je možné identifikovať falošné mince a vrecúška (spolu sa teda použilo 95 mincí). Váženie IV. Stačia tri váženia. Označme si gule číslami 1 až 12. Okrem toho doplním čísla týmito značkami: x? znamená, že o guli s číslom x ešte nič neviem; x< znamená, že guľa je možno ľahšia než ostatné; x> že je možno ťažšia; x. že je určite „normálna“. Najprv dám na ľavú misku váh gule 1? 2? 3? a 4? a na pravú 5? 6? 7? a 8?. Ak sú misky v rovnováhe, potom viem, že hľadaná guľa je jedna z 9-12. Na ľavú misku dám 1. 2. 3. a na pravú 9? 10? 11?. Ak sú misky znovu v rovnováhe, viem, že hľadaná guľa je tá s číslom 12, a pri poslednom zvážení (napr. s guľou 1.) zistím, či je ľahšia, alebo ťažšia. Ak je ľavá miska ťažšia, viem, že 12 je normálna a 9< 10< 11<. Zvážím 9< a 10<. Ak sú v rovnováhe, potom guľa 11 je ľahšia než všetky ostatné. Ak nie sú v rovnováhe, je z 9 a 10 ľahšia tá, ktorá bola hore. Ak je ťažšia pravá, potom 9> 10> a 11> a postupuje sa podobne ako v predchádzajúcom bode (viem, že hľadaná guľa bude ťažšia než ostatné). Ak je ľavá miska ťažšia, viem, že 1> 2> 3> 4>, 5< 6< 7< 8< a 9. 10. 11. 12. Teraz dám na ľavú misku 1> 2> 3> 5< a na pravú 4> 9. 10. 11. Ak sú misky v rovnováhe, podozrivými guľami zostávajú 6< 7< a 8<. Rozhodne sa o nich rovnako ako v prípade gulí 9< 10< 11< z prostredného bodu predchádzajúcej časti. Ak je ľavá miska ľahšia, podozrivé sú už len 5< a 4>. Zvážím napr. 1. a 4>. Ak sú misky v rovnováhe, guľa 5 je ľahšia než všetky ostatné, inak musí byť 4 dole, a je teda ťažšia. Ak je ľavá miska tažšia, určite sú normálne všetky gule okrem 1> 2> a 3>. A hľadanie medzi tromi (rovnako podozrivými) guľami sme si už popísali. Váženie V. Napríklad najprv položíme na jednu misku po jednej červenej a jednej bielej guli, na druhú bielu a jednu modrú. Ak je váha v rovnováhe, vieme, že na každej strane je jedna ťažšia a jedna ľahšia guľa, preto porovnáme napríklad tie biele. Potom už vieme všetko potrebné. Ak však pri prvom vážení klesne jedna miska nižšie, musí na nej byť biele závažie ťažšie. Potom pri ďalšom vážení porovnáme napríklad červenú (už váženú) guľu a modrú (ešte neváženú) guľu. Z výsledku váženia si jednoducho môžete odvodiť povahu všetkých gúľ. Váženie VI. Rozdelíme 9 guličiek na 3 skupiny po troch. 2 skupiny zvážime. Týmto krokom zistíme, v ktorej skupine je ťažšia gulička. Túto skupinu vezmeme a rozdelíme na 3 samostatné guličky. Dve vezmeme a zvážime. No a je to :-). Váženie VII. Na nájdenie ťažšej loptičky stačia 3 váženia. 27 loptičiek si rozdelíme na 3 skupiny po 9 loptičiek. 2 skupiny dáme na váhu. Ak je jedna z nich ťažšia ako druhá, obsahuje ťažšiu loptičku. Ak sú skupiny v rovnováhe, hľadaná loptička sa nachádza v tretej skupine, ktorú máme bokom. Týmto prvým vážením sme našli skupinu s 9 loptičkami, medzi ktorými sa určite nachádza ťažšia loptička. 9 loptičiek si rozdelíme na 3 skupiny po 3. 2 skupiny dáme na váhu a postup z predchádzajúceho váženia opakujeme. Ak je jedna z nich ťažšia ako druhá, obsahuje hľadanú loptičku. Ak sú skupiny v rovnováhe, hľadaná loptička sa nachádza v tretej skupine, ktorú máme bokom. Týmto druhým vážením sme našli skupinu s 3 loptičkami, medzi ktorými sa určite nachádza ťažšia loptička. Zo zostávajúcich 3 loptičiek si 2 dáme na váhu a tretiu odložíme bokom. Ak je jedna z nich ťažšia ako druhá, našli sme danú loptičku. Ak sú skupiny v rovnováhe, ťažšia loptička je tá, ktorú máme bokom a týmto tretím vážením sme ju s určitosťou našli. Na nájdenie ťažšej pingpongovej loptičky teda potrebujeme 3 váženia. Váženie VIII. Moje riešenie je nasledujúce: 1, 3, 9, 27, 81g. To je tých päť závaží. Presýpacie hodiny I. Obrátime obe hodiny. Po 4 minútach obrátime 4min hodiny. Keď sa dosypú 7min hodiny, otočíme tieto hodiny. Vtedy zostáva 1 minúta na 4min hodinách ktorá keď sa dosype, bude na 7min hodinách tiež 1 minúta odsypaná. Tie 7min hodiny teda potom stačí otočiť a danú 1 minútu odmerať ešte raz. A je to. 4+3+1+1 Presýpacie hodiny II. Učiteľ obrátil oboje hodiny naraz keď sa začal test. Keď sa presypali 7 minútové presýpacie hodiny (11 minútové presýpacie hodiny sa budú presýpať ešte 4 minúty) obrátil ich. Po presypaní 11 minútových hodín učiteľ ešte raz otočil 7 minútové hodiny. A je to – obracanie 7 minútových hodín. Zápalné šnúry Zapálite súčasne oba konce jednej zápalnej šnúry a jeden koniec druhej zápalnej šnúry. V momente keď zápalná šnúra, ktorá mala zapálené oba konce dohorí (t.j. po 30 minútach - ak by bol zapálený jeden koniec horela by presne hodinu, ale keďže sme ju zapálili na oboch koncoch, dohorela po 30 minútach), zapálite druhý koniec na tej zápalnej šnúre, ktorá ešte horí (a ešte by mala horieť 30 minút), čím dosiahnete, že táto zápalná šnúra dohorí o 15 minút. EINSTEINOVE HÁDANKY Medveď Všetko sa muselo stať pri severnom póle. Keď človek strieľal, musel byť na póle, inak by bola úloha – nepoznajúc rýchlosť medveďa, človeka a vzdialenosti – nejednoznačná. Takže ak sa tam zatúľal nejaký medveď, tak musel byť ľadový, a teda biely. Susedia Nór žltý Dunhill voda mačka Dán modrý Blend čaj kôň Brit červený Pall Mall mlieko vták Nemec zelený Prince káva rybičky Švéd biely Blue Master pivo pes Stretnutie (zvládneš túto výzvu?) Dana a Milan Bárta Predavač trabant ružová farba Mulatka Gabriela Bolo nás päť Viera a Oldo Kuřil Lekár škodovka hnedá farba Moderná komédia Slovácko sa súdi Hana a Stano Horák Agronóm moskvič biela farba Pani komisárka Mulatka Gabriela Jirka a Rado Šedivec Skladník wartburg žltá farba Bolo nás päť Moderná komédia Mirka a Aleš Čermák Sprievodca dácia fialová farba Dupä hranostajov Náš dedko Jozef Irena a Oto Zajac Účtovník fiat červená farba Morský vlk Dupä hranostajov Petra a Pavel Slama Nákupca renault zelená farba Náš dedko Jozef Morský vlk Vlasta a Roman Dvořák Učiteľ žiguli modrá farba Slovácko sa súdi Pani komisárka Lode Do Port Saidu odchádza španielska loď a čaj vezie francúzska loď, ale môže to byť aj brazílska, ak ste si termín „vpravo od“ vysvetlili tak, že to nemusí byť hneď vedľa, ale kdekoľvek vpravo. francúzska 5.00 čaj modrý Janov grécka 6.00 káva červený Hamburg brazílska 8.00 kakao čierny Manila anglická 9.00 ryža biely Marseille španielska 7.00 obylie zelený Port Said Záhradky Henrich hruška jabloň višňa ruža Samo višňa cibuľa ruža tulipán Peter mrkva dyňa cibuľa ruža Zdeno astra ruža tulipán narcis Laco hruška orech dyňa petržlen SKRYTÉ ČÍSLA Ľahšia chuťovka Prvý ani druhý študent nemôžu mať čísla 1 alebo 10, inak by totiž jednoducho odhalili číslo toho druhého. Teraz popíšem hľadanie riešenia na jednom konci intervalu (obdobné riešenia budú na druhom konci intervalu). Pre prvého musí mať informácia o tom, že druhý nevie, zásadný význam, aby vďaka tejto informácii mohol určiť jeho číslo. Musí teda napríklad čakať, že má 1 alebo niektoré iné číslo (ak on sám má 2). Avšak keďže druhý nevie, potom určite nemá očakávanú 1. Teda prvá dvojica je 2 a 3. Ak by mal prvý 3, potom čaká, že druhý má 2 alebo 4. Ak by však mal druhý 2 (a od prvého by už vedel, že ten nemá 1), potom by už číslo prvého poznal. Pretože však ani on nevie, musí mať 4. Druhá dvojica je teda 3 a 4. Riešenia na opačnom konci intervalu sú 9 a 8 alebo 8 a 7. Chuťovka Správne čísla sú 2 a 9. Tu je pre istotu celé riešenie. Súčet je menší než 14 (pre prirodzené čísla vačšie než 1), teda možné sú nasledujúce kombinácie: 2 2 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 2 3 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 2 4 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 2 5 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 2 6 2 7 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 2 8 2 9 2 10 2 11 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 3 3 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 3 4 3 5 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 3 6 3 7 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 3 8 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 (napr. 2 + 12) 3 9 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 3 10 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 4 4 4 5 4 6 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 4 7 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 4 8 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 4 9 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 5 5 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 5 6 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 5 7 ... NIE - prvý by poznal aj súčet 5 8 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 6 6 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 6 7 ...NIE - súčin nemá všetky možné súčty menšie než 14 Zostali teda nasledujúce kombinácie: 2 6 ... NIE - z daného súčtu nemožno vytvoriť žiadnu dvojicu číslic, z ktorých súčinu by existoval aspoň jeden súčet väčší než 14 (zo súčtu 8 nemožno vytvoriť dvojicu čísel, ktorých súčin by mal alternatívny súčet väčší než 14 ... napr. ak 4 a 4, potom z ich súčinu 16 neexistuje žiadny možný súčet - napr. z číslic 2 a 8 - väčší než 14) 2 8 2 9 2 10 3 4 ... NIE - z daného súčtu nemožno vytvoriť žiadnu dvojicu číslic, z ktorých súčinu by existoval aspoň jeden súčet väčší než 14 3 6 ... NIE - z daného súčtu nemožno vytvoriť žiadnu dvojicu číslic, z ktorých súčinu by existoval aspoň jeden súčet väčší než 14 4 4 ... NIE - z daného súčtu nemožno vytvoriť žiadnu dvojicu číslic, z ktorých súčinu by existoval aspoň jeden súčet väčší než 14 4 5 ... NIE - z daného súčtu nemožno vytvoriť žiadnu dvojicu číslic, z ktorých súčinu by existoval aspoň jeden súčet väčší než 14 Druhý študent (poznajúci súčet) vedel, že prvý študent (poznajúci súčin) nepozná súčet a myslel si, že nevie o tom, že súčet je menší než 14. Zostávajú posledné 3 dvojice číslic: 2 8 ... súčin = 16, súčet = 10 2 9 ... súčin = 18, súčet = 11 2 10 ... súčin = 20, súčet = 12 Vylúčme súčty, ku ktorým možno dospieť aj s jedinečnou kombináciou čísel – ak je zo súčinu jasný súčet (to sa dalo urobiť už, skôr, ale potom by to nebolo také napínavé) - pretože druhý študent vedel, že jeho súčet nie je tvorený takou dvojicou čísel. A teda súčet nemôže byť 10 (lebo 7 a 3) - druhý študent vedel, že prvý nepozná súčet - ale pri súčte 10 by prvý mohol vedieť súčet ak by bola dvojica 7 a 3. To isté platí pre súčet 12 (lebo 5 a 7). Tým pádom zostala len jedna možnosť - jediné správne riešenie - 2 a 9. A je to. Deti Východiskom je poznatok o súčine všetkých troch detí – 36. Na papier si môžete napísať všetky možné kombinácie vekov, ktoré tento súčin dávajú. Informácia o súčte nepomohla, a teda musíme predpokladať, že existujú aspoň dva rovnaké súčty pre rôzne kombinácie vekov (konkrétne 1-6-6 a 2-2-9). A keďže vieme, že najstarší nosí červenú čapicu, je jasné, že správna kombinácia je 2-2-9, kde je jeden z trojice najstarší. Narodeniny Jednoducho: narodený 31.12. – hovorené 1.1. Znamienko Desatinné znamienko – 5,9. Zlomok 5832/17496 = 1/3 5-miestne číslo Zadanie vedie k jednoduchej rovnici: 3(x + 100000) = 10x + 1. A tá má jediný koreň: x = 42857. 9-miestne číslo 473816952 – ak sa zaokrúhľovaním mení nasledujúca číslica 10-miestne číslo ? Zadanie medzi riadkami určuje, že súčet musí byť desať. Pretože každá cifra v tomto čísle označuje počet iných číslic v tomto čísle a pretože je toto číslo desaťmiestne, musí to tak byť (a malo by tam byť veľa núl). Postupným dosadzovaním od prvej číslice prídeme k riešeniu: 6210001000. ? 2100010006. Šifra Medzi možné posledné dvojčíslia patria tieto: 03 ,05, 07, 09, 14, 16, 18, 25, 27, 29, 30. Aspoň dva násobky menšie než sto (už splnené prvotným výberom), ktoré sú zložené z párnej a nepárnej číslice (rešpektujúc všetky podmienky zadania úlohy) existujú pre dvojčíslia 03, 07, 09, 18: 03 – 27, 63, 69, 81 07 – 49, 63 09 – 27, 63, 81 18 – 36, 72, 90 Z týchto dvojíc je potom možné zostaviť 5 čísel, ktoré môžu tvoriť hľadanú šifru, a to: 692703, 816903, 496307, 816309, 903618. (Ak predpokladáme, že i v čísle 903618 je splnená podmienka vystriedania párnej a nepárnej číslice, aj keď v opačnom poradí.) Puzzle Nemám to overené, ale mne vyšlo toto: Použil som dve čísla – 39543 a 89398 (obidve sú vpravo dole). Takto vyzerá mriežka (grid): 8 9 3 9 8 9 9 9 3 9 5 4 3 9 4 9 8 9 3 9 8 A teda celkové skóre mi vyšlo 147. Číselný logik 6741 1996 29 = -1+[9]+[[9]6] 32 = (1:[9])x96 35 = -19+(9x6) 38 = 19:[9]x6 70 = (1+[9])[9]+6 73 = 19+(9x6) 76 = 1+(9x9)-6 77 = -19+96 100 = 1+[9]+96 1000 = (1+9)(9-6) Odmocnina je označená hranatými zátvorkami. 100 100 = 177-77 = (7+7)x(7+(1:7)) Viac riešení nepoznám. Rovnica Dvojka sa posunie o polovicu riadku nahor, čím sa dostane 101 - 102 = 1. Číselné rady • 8723, 3872, 2387, ? 7238 (číslice sa posúvajú) • 1, 4, 9, 18, 35, ? 68 (x*2+2, +1, +0, -1, -2) • 23, 45, 89, 177, ? 353 (x*2-1) • 7, 5, 8, 4, 9, 3, ? 10, 2 (dve postupnosti ob-číslo: 7, 8, 9, 10 a 5, 4, 3, 2) • 11, 19, 14, 22, 17, 25, ? 20, 28 (dve postupnosti ob-číslo: 11, 14, 17, 20 a 19, 22, 25, 28) • 3, 8, 15, 24, 35, ? 48 (x+5, +7, +9, +11, +13) • 2, 4, 5, 10, 12, 24, 27, ? 54, 58 (x*2, +1, *2, +2, *2, +3, *2, +4) • 1, 3, 4, 7, 11, 18, ? 29 (a+b=c, b+c=d, c+d=e …) • 99, 92, 86, 81, 77, ? 74 (x-7, -6, -5, -4, -3) • 0, 4, 2, 6, 4, 8, ? 6 (x+4, -2, +4, -2, +4, -2) • 1, 2, 2, 4, 8, 11, 33, ? • 1, 2, 6, 24, 120, ? 720 (x*2, *3, *4, *5, *6) • 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, ? • 5, 7, 12, 19, 31, 50, ? 81 (a+b=c, b+c=d, c+d=e …) • 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, ? 322, 161 (x*3+1, /2, *3+1, /2 …) • 126, 63, 190, 95, 286, 143, 430, 215, 646, 323, 970, ? 485, 1456 (x/2, *3+1, /2, *3+1 …) • 4, 7, 15, 29, 59, 117, ? 235 (x*2-1, *2+1, *2-1 …) • 2, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 5, ? 2, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 3, 2, 3, 2, 5 • 4, 4, 341, 6, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 6, 10, 4, 4, 14, 6, 4, 4, 6, 6, 4, 4, 6, 22, 4, 4, 9, 6, ? 4, 4 PREVOZY A INÉ Koza, vlk a kapusta Vezme kozu, prevezie ju. Vráti sa, vezme kapustu, prevezie, vyloží, naloží kozu a vráti sa s ňou na pôvodný breh, vyloží, naloží vlka, odvezie na druhý breh a vráti sa pre kozu. Kanibali a misionári Tam turista a kanibal, späť turista. Tam dvaja kanbali, späť kanibal. Tam dvaja turisti, späť turista a kanibal. Tam dvaja turisti, späť kanibal, ktorý nakoniec odvozí na druhý breh svojich hladných kamarátov. Rodinka Najskôr sa previezli cez rieku deti. Syn sa vrátil späť a išiel otec. Potom sa vrátila dcéra a spolu s bratom išli k otcovi. Syn sa vrátil a dal loďku matke. Tá prešla na druhý breh, do loďky nasadla dcéra a vrátila sa k bratovi. Obaja išli na druhú stranu k rodičom, dcéra vystúpila a chlapec sa vrátil. Dal loďku rybárovi, ktorý išiel na druhý breh, odovzdal loďku dievčaťu, tá sa vrátila pre brata, previezla ho a až potom odovzdali loďku rybárovi. Loďka musela 13-krát cez rieku. Ľudia a opice Uvedené tri stĺpce predstavujú ľavý breh, loď a pravý breh. Symboly < a > označujú smer pohybu lode. H je človek, M je veľká opica, m je malá opica. HHHMmm . HHHm Mm> . HHHm m HHH mm HM Hm Hm HM mm HHH m HHHm . . HHHMmm Tmofóbia Najskôr prejde tato s mamou – 2 minúty. Potom sa tato vráti – 3 minúty, idú deti – 8 minút. Mama sa vráti pre tata – 10 minút, obaja prejdu na druhú stranu – 12 minút! :-) Kondómy 1. Muž si nasadí obidva prezervatívy a užije si s prvou ženou. Potom si vrchný kondóm dá dole (a pritom ho otočí) a užije si s druhou ženou. Nakoniec si nasadí na stále nasadený prezervatív ten, ktorý si dal dole, a to naopak, teda čistou stranou von. Teraz si môže bezpečne užiť aj s poslednou ženou. 2. Prvý muž si nasadí obidva kondómy (k1 a k2), pomiluje sa s prvou ženou, a potom k2 dá druhému mužovi. Ten sa tiež pomiluje s prvou ženou, zatiaľ čo sa prvý muž (s k1) pomiluje s druhou ženou. Potom prvý muž dá dole k1, nasadí si ho druhý muž na k2 a ... 3. Prvý muž má nasadené oba kondómy pri styku. Vrchný kondóm si dá dole a druhý muž ho použije (bez toho aby ho obracal). Prvý muž dá dole aj spodný kondóm (pritom ho prevráti naopak) a tretí muž si ho takto obrátený naopak navlečie, naňho si dá použitý kondóm od druhého a užije si aj on. Kvety Existujú 2 riešenia: Tri kvety: ruža, tulipán, sedmokráska. Dva kvety: narcis, muškát. Odčítanie Iba raz. Akonáhle odčítate číslo 2 od čísla 32, ďalej odčítavate 2 od 30, od 28 atď. Kruh vs. štvorec Štvorcový poklop studne môže spadnúť dnu ak sa otočí hranou dole cez uhlopriečku studne. Preto je okrúhly poklop praktickejší. Holiči Ja by som sa dal ostrihať u prvého holiča. Keďže sú v meste iba dvaja holiči, prvý musí strihať druhého a naopak. Takže skvelý účes druhého holiča zabezpečil ten prvý. Mimochodom u druhého holiča je tak čisto preto, lebo má málo zákazníkov. Vražda na púšti Ani jednu z úvah nie je možné označiť za správnu alebo nesprávnu. Každý názor je rovnako dobrý. Väčšina ľudí hovorí, že vrahom je A. Obhajca B by zdôraznil dve veci: 1. odobrať niekomu otrávenú vodu neznamená zabiť ho, 2. B iba predĺžil život A, aj keď nechcel, lebo jed by ho zabil asi rýchlejšie. Obajca A by zase argumentoval takto: „Ako je možné obviňovať A z vraždy jedom, keď C neprehltol ani kvapku jedu.“ Raymond M. Smullyan sa v krátkosti zamýšľa nad morálnym, právnym a logickým hľadiskom. Z morálneho hľadiska je zjavné, že sú obaja vinný z pokusu o vraždu. Z právneho hľadiska by rôzne súdy súdili prípad rôzne. A logický aspekt príčinnosti možno rozviesť na celú knihu. Staršie dvojča Matka porodila dvojičky na lodi. Staršie dvojča, Terry, sa narodilo v prvých minútach 1. marca. Loď potom prešla do iného časového pásma a Kerry, mladšie dvojča, sa narodilo 28. februára. Každý nepriestupný rok oslavuje mladšie dvojča svoje narodeniny o dva dni skôr ako jej starší brat. Tento hlavolam poslala Judy Dean do súťaže Games Magazine 'How Come' v roku 1992. A vyhrala. NOVÉ Doplňovačka A B C D C C D B A A B D C C D B A C C B A D C C C C B A D C C D A B C A C A B B C E A D C A D E B B E E B D A C E E C B D A A D D A C E B A D B C E B C C B B D D D B E A C C A A E B D C C D D C E B A E C D A B B A A D B C E E B C A D E E C E A B D C C E B D DOMINO Krížovka 1 3 5 2 6 0 1 3 5 6 4 9 1 5 1 Had Hexagóny GEOMETRICKÉ Ako trojuholník to vyzeralo preto, lebo bola použitá hrubá čiara. Štvrté vrcholy sú označené šípkami (c9,l6). Súčet obsahov úzkych trojuholníkov vyfarbených zelenou farbou dáva potom ten problematický štvorček. A teda prepona celého trojuholníka nie je rovná úsečka, ale je tvorená z dvoch úsečiek. ZÁPALKOVÉ X + V = IV (min. 2 solutions) IX - V = IV or X - VI = IV L + L = L (min. 2 solutions) C - L = L or L + I = LI VI = IV – III VI = IX - III X = VIII – II X - VIII = II XI - V = IV X - VI = IV or XI - V = VI or XI - VI = V IX - IX = V IX - IV = V XIV - V = XX XV + V = XX VII = I Smeti (lopatka) Domček Váhy Pravá strana sa posunie dole. Ryba Diagonálne do prava nahor (alebo nadol). Králikáreň Nedokončený obrázok. Rieka NIL Krava Kľúč Nedokončený obrázok. Dotyky Namiesto zápaliek sa možu použiť aj ceruzky. Ide to dokonca aj so siedmimi ceruzkami. ALGEBROGRAMY KC + I = OK + + + A + A = KM ------------------- OL + KO = LI KOLMICA ATU + IAZ = IITE - - : NEG : IOG = E ------------------------- PAU - NZ = PPA GIPOTENUZA PS x PAN = ČNAČ x + - IR + KNP = EYI -------------------------- SRP + PYPS = PSIK PRASEČINKY ABCB - DEFC = GAFB : + - DH x AB = IEI ------------------------------- GGE + DEBB = DHDG A=3, B=8, C=0, D=1, E=4, F=5, G=2, H=7, I=6 3808 - 1450 = 2358 : + - 17 x 38 = 646 = = = 224 + 1488 = 1712 IFIB - EBG = CEH - - + CCE / GD = FE ------------------------ EFF + EED = CBA A=9, B=7, C=8, D=6, E=4, F=3, G=2, H=5, I=1 1317 - 472 = 845 - - + 884 / 26 = 34 ------------------------ 433 + 446 = 879 RE + MI = FA DO + SI = MI LA + SI = SOL 27 + 56 = 83 40 + 16 = 56 93 + 16 = 109 SEND MORE ------------ MONEY 9567 + 1085 = 10652 SEVEN + SEVEN + SIX = TWENTY 68782 + 68782 + 650 = 138214 MOST MOST ----------- TORZO 6271 + 6271 = 12542 SINUS SINUS KOSINUS --------------- TANGENS 58725 58725 3958725 ------------ 4076175 KAJAK KAJAK KAJAK KAJAK KAJAK KAJAK ----------- VESLO 15451*6=92706 DVA * DVA = ŠTYRI D + V + A + D + V + A = Š + T + Y + R + Y 209 * 209 = 43681 2 + 0 + 9 + 2 + 0 + 9 = 4 + 3 + 6 + 8 + 1 (AA)B= ABBA 113 = 1331 ALFA + BETA + GAMA = DELTA 5795 + 6435 + 2505 = 14735 or 5305 + 2475 + 6595 = 14375 ABC + DEF = GHIJ 437 + 589 = 1026 743 + 859 = 1602 ABC x DEF = 123 456, pričom A = 1 192 x 643 = 123456 ABCD*D = DCBA 1089*9=9801 ABCD*E = DCBA 2178*4=8712 ABCDEF*3 = BCDEFA 285714*3=857142 alebo 142857*3=428571 THC = (T + H + C) x T x H x C 135 = (1 + 3 + 5) x 1 x 3 x 5 AL= LEBKA 57=78125 KOV x KOV = DEDKOV 376*376=141376 (J+O+I+N+T)3= JOINT (1+9+6+8+3)3=19683