[Guest]

You are going to place all numbers from 1 to 16 on a 4x4 chessboard such that all consecutive number pairs (1-2, 2-3, ..., 15-16) will be on the neighboring cells (left-right-top-down).

In how many different ways can this be done?

If the question was asked for a 2x2 chessboard, the answer would be 8.

[Guest]

May have missed some, but with reflections and rotations the count is at 328.

[Guest]

I've tried to do it for a 3x3 square, all you need to do here is just try to fit in a 9 cell long chain inside the sqare where the first cell is 1, connected to 2, connected to 3...etc

Each unique way can have up to 16 other versions of itself by using 3 operations: Rotation, Mirror and Inversion (starting from the end), although not all are different, sometimes if you rotate something then invert it you're back to the starting position...

So I made a drawing of how a 3x3 cube can connect and each version how many different clones it can make through rotating mirroring and inverting:

So for 3x3 square you have 40 different ways, for 2x2 there was only 1 version and it can only be rotated and inverted:

So there are 8...

Now doing it for 4 is way too complicated cause for a 4x4 square there are lots more versions and very hard to see which is unique, but this work didn't go to waste, I now know there are 8 versions for a 2x2 square and 40 for a 3x3 square, time to bust out ActionScript...

1 4

2 3


1 2

4 3


4 1

3 2


2 1

3 4


2 3

1 4


4 3

1 2


3 2

4 1


3 4

2 1


Total: 8

1 6 7

2 5 8

3 4 9


1 8 7

2 9 6

3 4 5


1 8 9

2 7 6

3 4 5


1 4 5

2 3 6

9 8 7


1 2 9

4 3 8

5 6 7


1 2 3

8 7 4

9 6 5


1 2 3

8 9 4

7 6 5


1 2 3

6 5 4

7 8 9


7 6 1

8 5 2

9 4 3


7 8 1

6 9 2

5 4 3


9 8 1

6 7 2

5 4 3


5 4 1

6 3 2

7 8 9


9 2 1

8 3 4

7 6 5


3 2 1

4 7 8

5 6 9


3 2 1

4 9 8

5 6 7


3 2 1

4 5 6

9 8 7


7 6 5

8 1 4

9 2 3


5 6 7

4 1 8

3 2 9


9 2 3

8 1 4

7 6 5


3 2 9

4 1 8

5 6 7


7 8 9

6 1 2

5 4 3


5 4 3

6 1 2

7 8 9


9 8 7

2 1 6

3 4 5


3 4 5

2 1 6

9 8 7


3 4 9

2 5 8

1 6 7


3 4 5

2 9 6

1 8 7


3 4 5

2 7 6

1 8 9


9 8 7

2 3 6

1 4 5


5 6 7

4 3 8

1 2 9


9 6 5

8 7 4

1 2 3


7 6 5

8 9 4

1 2 3


7 8 9

6 5 4

1 2 3


9 4 3

8 5 2

7 6 1


5 4 3

6 9 2

7 8 1


5 4 3

6 7 2

9 8 1


7 8 9

6 3 2

5 4 1


7 6 5

8 3 4

9 2 1


5 6 9

4 7 8

3 2 1


5 6 7

4 9 8

3 2 1


9 8 7

4 5 6

3 2 1


Total: 40

Now that I know they both worked, we go for 4x4 aaaaand:

1 8 9 16

2 7 10 15

3 6 11 14

4 5 12 13


1 8 9 10

2 7 16 11

3 6 15 12

4 5 14 13


1 8 9 10

2 7 12 11

3 6 13 16

4 5 14 15


1 8 9 10

2 7 12 11

3 6 13 14

4 5 16 15


1 16 15 14

2 7 8 13

3 6 9 12

4 5 10 11


1 16 13 12

2 15 14 11

3 6 7 10

4 5 8 9


1 14 13 12

2 15 16 11

3 6 7 10

4 5 8 9


1 14 15 16

2 13 12 11

3 6 7 10

4 5 8 9


1 10 11 12

2 9 8 13

3 6 7 14

4 5 16 15


1 16 11 10

2 15 12 9

3 14 13 8

4 5 6 7


1 12 11 10

2 13 16 9

3 14 15 8

4 5 6 7


1 12 11 10

2 13 14 9

3 16 15 8

4 5 6 7


1 14 15 16

2 13 10 9

3 12 11 8

4 5 6 7


1 14 13 12

2 15 10 11

3 16 9 8

4 5 6 7


1 12 13 16

2 11 14 15

3 10 9 8

4 5 6 7


1 12 13 14

2 11 16 15

3 10 9 8

4 5 6 7


1 16 15 14

2 11 12 13

3 10 9 8

4 5 6 7


1 6 7 8

2 5 10 9

3 4 11 12

16 15 14 13


1 8 9 10

2 7 6 11

3 4 5 12

16 15 14 13


1 16 15 14

2 3 12 13

5 4 11 10

6 7 8 9


1 4 5 16

2 3 6 15

9 8 7 14

10 11 12 13


1 4 5 6

2 3 16 7

13 14 15 8

12 11 10 9


1 4 5 6

2 3 8 7

15 14 9 10

16 13 12 11


1 4 5 6

2 3 8 7

15 16 9 10

14 13 12 11


1 4 5 6

2 3 8 7

11 10 9 16

12 13 14 15


1 16 15 14

2 3 4 13

7 6 5 12

8 9 10 11


1 2 7 8

16 3 6 9

15 4 5 10

14 13 12 11


1 2 5 6

16 3 4 7

15 12 11 8

14 13 10 9


1 2 15 14

4 3 16 13

5 8 9 12

6 7 10 11


1 2 15 16

4 3 14 13

5 8 9 12

6 7 10 11


1 2 11 12

4 3 10 13

5 8 9 14

6 7 16 15


1 2 13 12

4 3 14 11

5 16 15 10

6 7 8 9


1 2 9 10

4 3 8 11

5 6 7 12

16 15 14 13


1 2 3 16

8 7 4 15

9 6 5 14

10 11 12 13


1 2 3 16

6 5 4 15

7 10 11 14

8 9 12 13


1 2 3 4

16 11 10 5

15 12 9 6

14 13 8 7


1 2 3 4

12 11 10 5

13 16 9 6

14 15 8 7


1 2 3 4

12 11 10 5

13 14 9 6

16 15 8 7


1 2 3 4

14 15 16 5

13 10 9 6

12 11 8 7


1 2 3 4

14 13 12 5

15 10 11 6

16 9 8 7


1 2 3 4

12 13 16 5

11 14 15 6

10 9 8 7


1 2 3 4

12 13 14 5

11 16 15 6

10 9 8 7


1 2 3 4

16 15 14 5

11 12 13 6

10 9 8 7


1 2 3 4

14 13 6 5

15 12 7 8

16 11 10 9


1 2 3 4

14 15 6 5

13 16 7 8

12 11 10 9


1 2 3 4

16 15 6 5

13 14 7 8

12 11 10 9


1 2 3 4

10 9 6 5

11 8 7 16

12 13 14 15


1 2 3 4

16 7 6 5

15 8 9 10

14 13 12 11


1 2 3 4

8 7 6 5

9 12 13 16

10 11 14 15


1 2 3 4

8 7 6 5

9 12 13 14

10 11 16 15


1 2 3 4

8 7 6 5

9 16 15 14

10 11 12 13


1 2 3 4

8 7 6 5

9 10 11 12

16 15 14 13


16 1 6 7

15 2 5 8

14 3 4 9

13 12 11 10


16 1 4 5

15 2 3 6

14 11 10 7

13 12 9 8


16 1 2 3

15 10 9 4

14 11 8 5

13 12 7 6


16 1 2 3

15 14 13 4

10 11 12 5

9 8 7 6


16 1 2 3

15 14 5 4

12 13 6 7

11 10 9 8


16 1 2 3

15 6 5 4

14 7 8 9

13 12 11 10


2 1 16 15

3 8 9 14

4 7 10 13

5 6 11 12


2 1 10 11

3 8 9 12

4 7 16 13

5 6 15 14


2 1 10 11

3 8 9 12

4 7 14 13

5 6 15 16


2 1 14 13

3 16 15 12

4 7 8 11

5 6 9 10


2 1 12 13

3 10 11 14

4 9 8 15

5 6 7 16


2 1 12 11

3 16 13 10

4 15 14 9

5 6 7 8


2 1 12 11

3 14 13 10

4 15 16 9

5 6 7 8


2 1 14 15

3 12 13 16

4 11 10 9

5 6 7 8


2 1 16 15

3 12 13 14

4 11 10 9

5 6 7 8


2 1 8 9

3 4 7 10

16 5 6 11

15 14 13 12


2 1 12 13

3 4 11 14

6 5 10 15

7 8 9 16


2 1 14 13

3 4 15 12

6 5 16 11

7 8 9 10


2 1 14 15

3 4 13 16

6 5 12 11

7 8 9 10


2 1 16 15

3 4 13 14

6 5 12 11

7 8 9 10


2 1 16 15

3 4 5 14

8 7 6 13

9 10 11 12


2 1 6 7

3 4 5 8

16 13 12 9

15 14 11 10


2 1 6 7

3 4 5 8

14 13 12 9

15 16 11 10


2 1 6 7

3 4 5 8

14 15 16 9

13 12 11 10


2 1 6 7

3 4 5 8

12 11 10 9

13 14 15 16


7 6 1 16

8 5 2 15

9 4 3 14

10 11 12 13


5 4 1 16

6 3 2 15

7 10 11 14

8 9 12 13


15 16 1 2

14 9 8 3

13 10 7 4

12 11 6 5


11 10 1 2

12 9 8 3

13 16 7 4

14 15 6 5


11 10 1 2

12 9 8 3

13 14 7 4

16 15 6 5


13 14 1 2

12 15 16 3

11 8 7 4

10 9 6 5


13 12 1 2

14 11 10 3

15 8 9 4

16 7 6 5


11 12 1 2

10 13 16 3

9 14 15 4

8 7 6 5


11 12 1 2

10 13 14 3

9 16 15 4

8 7 6 5


15 14 1 2

16 13 12 3

9 10 11 4

8 7 6 5


15 16 1 2

14 13 12 3

9 10 11 4

8 7 6 5


13 12 1 2

14 11 4 3

15 10 5 6

16 9 8 7


13 14 1 2

12 15 4 3

11 16 5 6

10 9 8 7


15 14 1 2

16 13 4 3

11 12 5 6

10 9 8 7


15 16 1 2

14 13 4 3

11 12 5 6

10 9 8 7


9 8 1 2

10 7 4 3

11 6 5 16

12 13 14 15


15 16 1 2

14 5 4 3

13 6 7 8

12 11 10 9


7 6 1 2

8 5 4 3

9 12 13 16

10 11 14 15


7 6 1 2

8 5 4 3

9 12 13 14

10 11 16 15


7 6 1 2

8 5 4 3

9 16 15 14

10 11 12 13


7 6 1 2

8 5 4 3

9 10 11 12

16 15 14 13


3 2 1 16

4 9 10 15

5 8 11 14

6 7 12 13


3 2 1 16

4 13 14 15

5 12 11 10

6 7 8 9


3 2 1 16

4 5 14 15

7 6 13 12

8 9 10 11


3 2 1 16

4 5 6 15

9 8 7 14

10 11 12 13


16 9 8 1

15 10 7 2

14 11 6 3

13 12 5 4


10 9 8 1

11 16 7 2

12 15 6 3

13 14 5 4


10 9 8 1

11 12 7 2

16 13 6 3

15 14 5 4


10 9 8 1

11 12 7 2

14 13 6 3

15 16 5 4


14 15 16 1

13 8 7 2

12 9 6 3

11 10 5 4


12 13 16 1

11 14 15 2

10 7 6 3

9 8 5 4


12 13 14 1

11 16 15 2

10 7 6 3

9 8 5 4


16 15 14 1

11 12 13 2

10 7 6 3

9 8 5 4


12 11 10 1

13 8 9 2

14 7 6 3

15 16 5 4


10 11 16 1

9 12 15 2

8 13 14 3

7 6 5 4


10 11 12 1

9 16 13 2

8 15 14 3

7 6 5 4


10 11 12 1

9 14 13 2

8 15 16 3

7 6 5 4


16 15 14 1

9 10 13 2

8 11 12 3

7 6 5 4


12 13 14 1

11 10 15 2

8 9 16 3

7 6 5 4


16 13 12 1

15 14 11 2

8 9 10 3

7 6 5 4


14 13 12 1

15 16 11 2

8 9 10 3

7 6 5 4


14 15 16 1

13 12 11 2

8 9 10 3

7 6 5 4


8 7 6 1

9 10 5 2

12 11 4 3

13 14 15 16


10 9 8 1

11 6 7 2

12 5 4 3

13 14 15 16


14 15 16 1

13 12 3 2

10 11 4 5

9 8 7 6


16 5 4 1

15 6 3 2

14 7 8 9

13 12 11 10


6 5 4 1

7 16 3 2

8 15 14 13

9 10 11 12


6 5 4 1

7 8 3 2

16 9 10 11

15 14 13 12


6 5 4 1

7 8 3 2

10 9 14 15

11 12 13 16


6 5 4 1

7 8 3 2

10 9 16 15

11 12 13 14


14 15 16 1

13 4 3 2

12 5 6 7

11 10 9 8


8 7 2 1

9 6 3 16

10 5 4 15

11 12 13 14


14 15 2 1

13 16 3 4

12 9 8 5

11 10 7 6


16 15 2 1

13 14 3 4

12 9 8 5

11 10 7 6


12 11 2 1

13 10 3 4

14 9 8 5

15 16 7 6


12 13 2 1

11 14 3 4

10 15 16 5

9 8 7 6


10 9 2 1

11 8 3 4

12 7 6 5

13 14 15 16


6 5 2 1

7 4 3 16

8 11 12 15

9 10 13 14


16 3 2 1

15 4 7 8

14 5 6 9

13 12 11 10


16 3 2 1

15 4 5 6

14 11 10 7

13 12 9 8


4 3 2 1

5 10 11 16

6 9 12 15

7 8 13 14


4 3 2 1

5 10 11 12

6 9 16 13

7 8 15 14


4 3 2 1

5 10 11 12

6 9 14 13

7 8 15 16


4 3 2 1

5 16 15 14

6 9 10 13

7 8 11 12


4 3 2 1

5 12 13 14

6 11 10 15

7 8 9 16


4 3 2 1

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13 14 15 16

12 11 10 9

5 6 7 8

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Total: 552

So answer is 552...